📊 Mengenlehre & Zahlentheorie

Beziehungen zwischen Mengen

Teilmenge (A ⊆ B)

A B

Alle Elemente von A sind auch in B enthalten

Beispiel: {1, 2} ⊆ {1, 2, 3, 4}

Obermenge (B ⊇ A)

A B

B enthält alle Elemente von A (und möglicherweise mehr)

Beispiel: {1, 2, 3, 4} ⊇ {1, 2}

Gleichheit (A = B)

A = B

Beide Mengen enthalten exakt dieselben Elemente

Beispiel: {1, 2, 3} = {3, 2, 1}

Mengenoperationen

Vereinigung (A ∪ B)

A B

Alle Elemente, die in A oder B (oder beiden) sind

Beispiel: {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}

Schnittmenge (A ∩ B)

A B

Nur Elemente, die sowohl in A als auch in B sind

Beispiel: {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}

Differenz (A \ B)

A B

Elemente aus A, die nicht in B sind

Beispiel: {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} = {1}

Disjunkte Mengen

A B

Keine gemeinsamen Elemente: A ∩ B = ∅

Beispiel: {1, 2} und {3, 4} sind disjunkt

Spezielle Mengen

Potenzmenge ℘(A)

{1} {2} {1,2} ∅ ℘({1,2})

Menge aller Teilmengen einer Menge

Beispiel: ℘({1,2}) = {∅, {1}, {2}, {1,2}}

Kartesisches Produkt A × B

1 2 a b

Alle geordneten Paare (a,b) mit a∈A und b∈B

Beispiel: {1,2} × {a,b} = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}

Teilbarkeit & Teilermengen

Teilermenge T(12)

Alle Zahlen, die 12 ohne Rest teilen:

1
2
3
4
6
12
T(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Echte Teiler (ohne 12 selbst): {1, 2, 3, 4, 6}

Primzahlen

Die ersten Primzahlen

Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind:

2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
Beispiel: 7 ist prim, weil T(7) = {1, 7}

ggT & kgV

ggT(12, 18) = 6

T(12) T(18) 6

Größter gemeinsamer Teiler

T(12) = {1,2,3,4,6,12}
T(18) = {1,2,3,6,9,18}
Gemeinsame Teiler: {1,2,3,6} → größter: 6

kgV(4, 6) = 12

V(4) V(6) 12

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

V(4) = {0,4,8,12,16,20,...}
V(6) = {0,6,12,18,24,...}
Gemeinsame Vielfache: {0,12,24,...} → kleinstes (>0): 12

Perfekte Zahl

6 ist eine perfekte Zahl

Summe der echten Teiler = Zahl selbst

1 + 2 + 3 = 6
T(6) = {1, 2, 3, 6}
Echte Teiler: {1, 2, 3}
1 + 2 + 3 = 6 ✓
Weitere perfekte Zahlen: 28, 496, 8128...